Termination w.r.t. Q proof of /home/nowonder/forschung/aprove/satrung/aprove/lpar16/RubioSLASHma96.trs

Termination w.r.t. Q of the following Term Rewriting System could be proven:

Q restricted rewrite system:
The TRS R consists of the following rules:

and₂(false, false) -> false
and₂(true, false) -> false
and₂(false, true) -> false
and₂(true, true) -> true
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(T, L), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(T, L)) -> false
eq₂(cons₂(T, L), cons₂(Tp, Lp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(L, Lp))
eq₂(var₁(L), var₁(Lp)) -> eq₂(L, Lp)
eq₂(var₁(L), apply₂(T, S)) -> false
eq₂(var₁(L), lambda₂(X, T)) -> false
eq₂(apply₂(T, S), var₁(L)) -> false
eq₂(apply₂(T, S), apply₂(Tp, Sp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(S, Sp))
eq₂(apply₂(T, S), lambda₂(X, Tp)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), var₁(L)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), apply₂(Tp, Sp)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), lambda₂(Xp, Tp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(X, Xp))
if₃(true, var₁(K), var₁(L)) -> var₁(K)
if₃(false, var₁(K), var₁(L)) -> var₁(L)
ren₃(var₁(L), var₁(K), var₁(Lp)) -> if₃(eq₂(L, Lp), var₁(K), var₁(Lp))
ren₃(X, Y, apply₂(T, S)) -> apply₂(ren₃(X, Y, T), ren₃(X, Y, S))
ren₃(X, Y, lambda₂(Z, T)) -> lambda₂(var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), ren₃(X, Y, ren₃(Z, var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), T)))

Q is empty.

↳ QTRS

  ↳ Non-Overlap Check

Q restricted rewrite system:
The TRS R consists of the following rules:

and₂(false, false) -> false
and₂(true, false) -> false
and₂(false, true) -> false
and₂(true, true) -> true
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(T, L), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(T, L)) -> false
eq₂(cons₂(T, L), cons₂(Tp, Lp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(L, Lp))
eq₂(var₁(L), var₁(Lp)) -> eq₂(L, Lp)
eq₂(var₁(L), apply₂(T, S)) -> false
eq₂(var₁(L), lambda₂(X, T)) -> false
eq₂(apply₂(T, S), var₁(L)) -> false
eq₂(apply₂(T, S), apply₂(Tp, Sp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(S, Sp))
eq₂(apply₂(T, S), lambda₂(X, Tp)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), var₁(L)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), apply₂(Tp, Sp)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), lambda₂(Xp, Tp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(X, Xp))
if₃(true, var₁(K), var₁(L)) -> var₁(K)
if₃(false, var₁(K), var₁(L)) -> var₁(L)
ren₃(var₁(L), var₁(K), var₁(Lp)) -> if₃(eq₂(L, Lp), var₁(K), var₁(Lp))
ren₃(X, Y, apply₂(T, S)) -> apply₂(ren₃(X, Y, T), ren₃(X, Y, S))
ren₃(X, Y, lambda₂(Z, T)) -> lambda₂(var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), ren₃(X, Y, ren₃(Z, var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), T)))

Q is empty.

The TRS is non-overlapping. Hence, we can switch to innermost.

↳ QTRS

  ↳ Non-Overlap Check

    ↳ QTRS

      ↳ DependencyPairsProof

Q restricted rewrite system:
The TRS R consists of the following rules:

and₂(false, false) -> false
and₂(true, false) -> false
and₂(false, true) -> false
and₂(true, true) -> true
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(T, L), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(T, L)) -> false
eq₂(cons₂(T, L), cons₂(Tp, Lp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(L, Lp))
eq₂(var₁(L), var₁(Lp)) -> eq₂(L, Lp)
eq₂(var₁(L), apply₂(T, S)) -> false
eq₂(var₁(L), lambda₂(X, T)) -> false
eq₂(apply₂(T, S), var₁(L)) -> false
eq₂(apply₂(T, S), apply₂(Tp, Sp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(S, Sp))
eq₂(apply₂(T, S), lambda₂(X, Tp)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), var₁(L)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), apply₂(Tp, Sp)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), lambda₂(Xp, Tp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(X, Xp))
if₃(true, var₁(K), var₁(L)) -> var₁(K)
if₃(false, var₁(K), var₁(L)) -> var₁(L)
ren₃(var₁(L), var₁(K), var₁(Lp)) -> if₃(eq₂(L, Lp), var₁(K), var₁(Lp))
ren₃(X, Y, apply₂(T, S)) -> apply₂(ren₃(X, Y, T), ren₃(X, Y, S))
ren₃(X, Y, lambda₂(Z, T)) -> lambda₂(var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), ren₃(X, Y, ren₃(Z, var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), T)))

The set Q consists of the following terms:

and₂(false, false)
and₂(true, false)
and₂(false, true)
and₂(true, true)
eq₂(nil, nil)
eq₂(cons₂(x0, x1), nil)
eq₂(nil, cons₂(x0, x1))
eq₂(cons₂(x0, x1), cons₂(x2, x3))
eq₂(var₁(x0), var₁(x1))
eq₂(var₁(x0), apply₂(x1, x2))
eq₂(var₁(x0), lambda₂(x1, x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), apply₂(x2, x3))
eq₂(apply₂(x0, x1), lambda₂(x2, x3))
eq₂(lambda₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(lambda₂(x0, x1), apply₂(x2, x3))
eq₂(lambda₂(x0, x1), lambda₂(x2, x3))
if₃(true, var₁(x0), var₁(x1))
if₃(false, var₁(x0), var₁(x1))
ren₃(var₁(x0), var₁(x1), var₁(x2))
ren₃(x0, x1, apply₂(x2, x3))
ren₃(x0, x1, lambda₂(x2, x3))

Using Dependency Pairs [1,13] we result in the following initial DP problem:
Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

EQ₂(var₁(L), var₁(Lp)) -> EQ₂(L, Lp)
REN₃(X, Y, apply₂(T, S)) -> REN₃(X, Y, T)
EQ₂(apply₂(T, S), apply₂(Tp, Sp)) -> EQ₂(T, Tp)
EQ₂(lambda₂(X, T), lambda₂(Xp, Tp)) -> EQ₂(X, Xp)
EQ₂(cons₂(T, L), cons₂(Tp, Lp)) -> EQ₂(L, Lp)
EQ₂(apply₂(T, S), apply₂(Tp, Sp)) -> AND₂(eq₂(T, Tp), eq₂(S, Sp))
EQ₂(cons₂(T, L), cons₂(Tp, Lp)) -> EQ₂(T, Tp)
REN₃(var₁(L), var₁(K), var₁(Lp)) -> EQ₂(L, Lp)
EQ₂(lambda₂(X, T), lambda₂(Xp, Tp)) -> AND₂(eq₂(T, Tp), eq₂(X, Xp))
EQ₂(cons₂(T, L), cons₂(Tp, Lp)) -> AND₂(eq₂(T, Tp), eq₂(L, Lp))
REN₃(X, Y, lambda₂(Z, T)) -> REN₃(X, Y, ren₃(Z, var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), T))
EQ₂(lambda₂(X, T), lambda₂(Xp, Tp)) -> EQ₂(T, Tp)
EQ₂(apply₂(T, S), apply₂(Tp, Sp)) -> EQ₂(S, Sp)
REN₃(var₁(L), var₁(K), var₁(Lp)) -> IF₃(eq₂(L, Lp), var₁(K), var₁(Lp))
REN₃(X, Y, lambda₂(Z, T)) -> REN₃(Z, var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), T)
REN₃(X, Y, apply₂(T, S)) -> REN₃(X, Y, S)

The TRS R consists of the following rules:

and₂(false, false) -> false
and₂(true, false) -> false
and₂(false, true) -> false
and₂(true, true) -> true
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(T, L), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(T, L)) -> false
eq₂(cons₂(T, L), cons₂(Tp, Lp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(L, Lp))
eq₂(var₁(L), var₁(Lp)) -> eq₂(L, Lp)
eq₂(var₁(L), apply₂(T, S)) -> false
eq₂(var₁(L), lambda₂(X, T)) -> false
eq₂(apply₂(T, S), var₁(L)) -> false
eq₂(apply₂(T, S), apply₂(Tp, Sp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(S, Sp))
eq₂(apply₂(T, S), lambda₂(X, Tp)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), var₁(L)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), apply₂(Tp, Sp)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), lambda₂(Xp, Tp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(X, Xp))
if₃(true, var₁(K), var₁(L)) -> var₁(K)
if₃(false, var₁(K), var₁(L)) -> var₁(L)
ren₃(var₁(L), var₁(K), var₁(Lp)) -> if₃(eq₂(L, Lp), var₁(K), var₁(Lp))
ren₃(X, Y, apply₂(T, S)) -> apply₂(ren₃(X, Y, T), ren₃(X, Y, S))
ren₃(X, Y, lambda₂(Z, T)) -> lambda₂(var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), ren₃(X, Y, ren₃(Z, var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), T)))

The set Q consists of the following terms:

and₂(false, false)
and₂(true, false)
and₂(false, true)
and₂(true, true)
eq₂(nil, nil)
eq₂(cons₂(x0, x1), nil)
eq₂(nil, cons₂(x0, x1))
eq₂(cons₂(x0, x1), cons₂(x2, x3))
eq₂(var₁(x0), var₁(x1))
eq₂(var₁(x0), apply₂(x1, x2))
eq₂(var₁(x0), lambda₂(x1, x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), apply₂(x2, x3))
eq₂(apply₂(x0, x1), lambda₂(x2, x3))
eq₂(lambda₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(lambda₂(x0, x1), apply₂(x2, x3))
eq₂(lambda₂(x0, x1), lambda₂(x2, x3))
if₃(true, var₁(x0), var₁(x1))
if₃(false, var₁(x0), var₁(x1))
ren₃(var₁(x0), var₁(x1), var₁(x2))
ren₃(x0, x1, apply₂(x2, x3))
ren₃(x0, x1, lambda₂(x2, x3))

We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

↳ QTRS

  ↳ Non-Overlap Check

    ↳ QTRS

      ↳ DependencyPairsProof

        ↳ QDP

          ↳ DependencyGraphProof

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

EQ₂(var₁(L), var₁(Lp)) -> EQ₂(L, Lp)
REN₃(X, Y, apply₂(T, S)) -> REN₃(X, Y, T)
EQ₂(apply₂(T, S), apply₂(Tp, Sp)) -> EQ₂(T, Tp)
EQ₂(lambda₂(X, T), lambda₂(Xp, Tp)) -> EQ₂(X, Xp)
EQ₂(cons₂(T, L), cons₂(Tp, Lp)) -> EQ₂(L, Lp)
EQ₂(apply₂(T, S), apply₂(Tp, Sp)) -> AND₂(eq₂(T, Tp), eq₂(S, Sp))
EQ₂(cons₂(T, L), cons₂(Tp, Lp)) -> EQ₂(T, Tp)
REN₃(var₁(L), var₁(K), var₁(Lp)) -> EQ₂(L, Lp)
EQ₂(lambda₂(X, T), lambda₂(Xp, Tp)) -> AND₂(eq₂(T, Tp), eq₂(X, Xp))
EQ₂(cons₂(T, L), cons₂(Tp, Lp)) -> AND₂(eq₂(T, Tp), eq₂(L, Lp))
REN₃(X, Y, lambda₂(Z, T)) -> REN₃(X, Y, ren₃(Z, var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), T))
EQ₂(lambda₂(X, T), lambda₂(Xp, Tp)) -> EQ₂(T, Tp)
EQ₂(apply₂(T, S), apply₂(Tp, Sp)) -> EQ₂(S, Sp)
REN₃(var₁(L), var₁(K), var₁(Lp)) -> IF₃(eq₂(L, Lp), var₁(K), var₁(Lp))
REN₃(X, Y, lambda₂(Z, T)) -> REN₃(Z, var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), T)
REN₃(X, Y, apply₂(T, S)) -> REN₃(X, Y, S)

The TRS R consists of the following rules:

and₂(false, false) -> false
and₂(true, false) -> false
and₂(false, true) -> false
and₂(true, true) -> true
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(T, L), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(T, L)) -> false
eq₂(cons₂(T, L), cons₂(Tp, Lp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(L, Lp))
eq₂(var₁(L), var₁(Lp)) -> eq₂(L, Lp)
eq₂(var₁(L), apply₂(T, S)) -> false
eq₂(var₁(L), lambda₂(X, T)) -> false
eq₂(apply₂(T, S), var₁(L)) -> false
eq₂(apply₂(T, S), apply₂(Tp, Sp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(S, Sp))
eq₂(apply₂(T, S), lambda₂(X, Tp)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), var₁(L)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), apply₂(Tp, Sp)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), lambda₂(Xp, Tp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(X, Xp))
if₃(true, var₁(K), var₁(L)) -> var₁(K)
if₃(false, var₁(K), var₁(L)) -> var₁(L)
ren₃(var₁(L), var₁(K), var₁(Lp)) -> if₃(eq₂(L, Lp), var₁(K), var₁(Lp))
ren₃(X, Y, apply₂(T, S)) -> apply₂(ren₃(X, Y, T), ren₃(X, Y, S))
ren₃(X, Y, lambda₂(Z, T)) -> lambda₂(var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), ren₃(X, Y, ren₃(Z, var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), T)))

The set Q consists of the following terms:

and₂(false, false)
and₂(true, false)
and₂(false, true)
and₂(true, true)
eq₂(nil, nil)
eq₂(cons₂(x0, x1), nil)
eq₂(nil, cons₂(x0, x1))
eq₂(cons₂(x0, x1), cons₂(x2, x3))
eq₂(var₁(x0), var₁(x1))
eq₂(var₁(x0), apply₂(x1, x2))
eq₂(var₁(x0), lambda₂(x1, x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), apply₂(x2, x3))
eq₂(apply₂(x0, x1), lambda₂(x2, x3))
eq₂(lambda₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(lambda₂(x0, x1), apply₂(x2, x3))
eq₂(lambda₂(x0, x1), lambda₂(x2, x3))
if₃(true, var₁(x0), var₁(x1))
if₃(false, var₁(x0), var₁(x1))
ren₃(var₁(x0), var₁(x1), var₁(x2))
ren₃(x0, x1, apply₂(x2, x3))
ren₃(x0, x1, lambda₂(x2, x3))

We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.
The approximation of the Dependency Graph [13,14,18] contains 2 SCCs with 5 less nodes.

↳ QTRS

  ↳ Non-Overlap Check

    ↳ QTRS

      ↳ DependencyPairsProof

        ↳ QDP

          ↳ DependencyGraphProof

            ↳ AND

              ↳ QDP

                ↳ QDPOrderProof

              ↳ QDP

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

EQ₂(var₁(L), var₁(Lp)) -> EQ₂(L, Lp)
EQ₂(apply₂(T, S), apply₂(Tp, Sp)) -> EQ₂(T, Tp)
EQ₂(lambda₂(X, T), lambda₂(Xp, Tp)) -> EQ₂(X, Xp)
EQ₂(cons₂(T, L), cons₂(Tp, Lp)) -> EQ₂(L, Lp)
EQ₂(lambda₂(X, T), lambda₂(Xp, Tp)) -> EQ₂(T, Tp)
EQ₂(apply₂(T, S), apply₂(Tp, Sp)) -> EQ₂(S, Sp)
EQ₂(cons₂(T, L), cons₂(Tp, Lp)) -> EQ₂(T, Tp)

The TRS R consists of the following rules:

and₂(false, false) -> false
and₂(true, false) -> false
and₂(false, true) -> false
and₂(true, true) -> true
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(T, L), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(T, L)) -> false
eq₂(cons₂(T, L), cons₂(Tp, Lp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(L, Lp))
eq₂(var₁(L), var₁(Lp)) -> eq₂(L, Lp)
eq₂(var₁(L), apply₂(T, S)) -> false
eq₂(var₁(L), lambda₂(X, T)) -> false
eq₂(apply₂(T, S), var₁(L)) -> false
eq₂(apply₂(T, S), apply₂(Tp, Sp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(S, Sp))
eq₂(apply₂(T, S), lambda₂(X, Tp)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), var₁(L)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), apply₂(Tp, Sp)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), lambda₂(Xp, Tp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(X, Xp))
if₃(true, var₁(K), var₁(L)) -> var₁(K)
if₃(false, var₁(K), var₁(L)) -> var₁(L)
ren₃(var₁(L), var₁(K), var₁(Lp)) -> if₃(eq₂(L, Lp), var₁(K), var₁(Lp))
ren₃(X, Y, apply₂(T, S)) -> apply₂(ren₃(X, Y, T), ren₃(X, Y, S))
ren₃(X, Y, lambda₂(Z, T)) -> lambda₂(var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), ren₃(X, Y, ren₃(Z, var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), T)))

The set Q consists of the following terms:

and₂(false, false)
and₂(true, false)
and₂(false, true)
and₂(true, true)
eq₂(nil, nil)
eq₂(cons₂(x0, x1), nil)
eq₂(nil, cons₂(x0, x1))
eq₂(cons₂(x0, x1), cons₂(x2, x3))
eq₂(var₁(x0), var₁(x1))
eq₂(var₁(x0), apply₂(x1, x2))
eq₂(var₁(x0), lambda₂(x1, x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), apply₂(x2, x3))
eq₂(apply₂(x0, x1), lambda₂(x2, x3))
eq₂(lambda₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(lambda₂(x0, x1), apply₂(x2, x3))
eq₂(lambda₂(x0, x1), lambda₂(x2, x3))
if₃(true, var₁(x0), var₁(x1))
if₃(false, var₁(x0), var₁(x1))
ren₃(var₁(x0), var₁(x1), var₁(x2))
ren₃(x0, x1, apply₂(x2, x3))
ren₃(x0, x1, lambda₂(x2, x3))

We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.
We use the reduction pair processor [13].

The following pairs can be strictly oriented and are deleted.

EQ₂(apply₂(T, S), apply₂(Tp, Sp)) -> EQ₂(T, Tp)
EQ₂(lambda₂(X, T), lambda₂(Xp, Tp)) -> EQ₂(X, Xp)
EQ₂(cons₂(T, L), cons₂(Tp, Lp)) -> EQ₂(L, Lp)
EQ₂(lambda₂(X, T), lambda₂(Xp, Tp)) -> EQ₂(T, Tp)
EQ₂(apply₂(T, S), apply₂(Tp, Sp)) -> EQ₂(S, Sp)
EQ₂(cons₂(T, L), cons₂(Tp, Lp)) -> EQ₂(T, Tp)

The remaining pairs can at least by weakly be oriented.

EQ₂(var₁(L), var₁(Lp)) -> EQ₂(L, Lp)

Used ordering: Combined order from the following AFS and order.
EQ₂(x1, x2) = x1
var₁(x1) = x1
apply₂(x1, x2) = apply₂(x1, x2)
lambda₂(x1, x2) = lambda₂(x1, x2)
cons₂(x1, x2) = cons₂(x1, x2)

Lexicographic Path Order [19].
Precedence:

trivial

The following usable rules [14] were oriented: none

↳ QTRS

  ↳ Non-Overlap Check

    ↳ QTRS

      ↳ DependencyPairsProof

        ↳ QDP

          ↳ DependencyGraphProof

            ↳ AND

              ↳ QDP

                ↳ QDPOrderProof

                  ↳ QDP

                    ↳ QDPOrderProof

              ↳ QDP

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

EQ₂(var₁(L), var₁(Lp)) -> EQ₂(L, Lp)

The TRS R consists of the following rules:

and₂(false, false) -> false
and₂(true, false) -> false
and₂(false, true) -> false
and₂(true, true) -> true
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(T, L), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(T, L)) -> false
eq₂(cons₂(T, L), cons₂(Tp, Lp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(L, Lp))
eq₂(var₁(L), var₁(Lp)) -> eq₂(L, Lp)
eq₂(var₁(L), apply₂(T, S)) -> false
eq₂(var₁(L), lambda₂(X, T)) -> false
eq₂(apply₂(T, S), var₁(L)) -> false
eq₂(apply₂(T, S), apply₂(Tp, Sp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(S, Sp))
eq₂(apply₂(T, S), lambda₂(X, Tp)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), var₁(L)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), apply₂(Tp, Sp)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), lambda₂(Xp, Tp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(X, Xp))
if₃(true, var₁(K), var₁(L)) -> var₁(K)
if₃(false, var₁(K), var₁(L)) -> var₁(L)
ren₃(var₁(L), var₁(K), var₁(Lp)) -> if₃(eq₂(L, Lp), var₁(K), var₁(Lp))
ren₃(X, Y, apply₂(T, S)) -> apply₂(ren₃(X, Y, T), ren₃(X, Y, S))
ren₃(X, Y, lambda₂(Z, T)) -> lambda₂(var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), ren₃(X, Y, ren₃(Z, var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), T)))

The set Q consists of the following terms:

and₂(false, false)
and₂(true, false)
and₂(false, true)
and₂(true, true)
eq₂(nil, nil)
eq₂(cons₂(x0, x1), nil)
eq₂(nil, cons₂(x0, x1))
eq₂(cons₂(x0, x1), cons₂(x2, x3))
eq₂(var₁(x0), var₁(x1))
eq₂(var₁(x0), apply₂(x1, x2))
eq₂(var₁(x0), lambda₂(x1, x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), apply₂(x2, x3))
eq₂(apply₂(x0, x1), lambda₂(x2, x3))
eq₂(lambda₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(lambda₂(x0, x1), apply₂(x2, x3))
eq₂(lambda₂(x0, x1), lambda₂(x2, x3))
if₃(true, var₁(x0), var₁(x1))
if₃(false, var₁(x0), var₁(x1))
ren₃(var₁(x0), var₁(x1), var₁(x2))
ren₃(x0, x1, apply₂(x2, x3))
ren₃(x0, x1, lambda₂(x2, x3))

We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.
We use the reduction pair processor [13].

The following pairs can be strictly oriented and are deleted.

EQ₂(var₁(L), var₁(Lp)) -> EQ₂(L, Lp)

The remaining pairs can at least by weakly be oriented.
none
Used ordering: Combined order from the following AFS and order.
EQ₂(x1, x2) = EQ₁(x1)
var₁(x1) = var₁(x1)

Lexicographic Path Order [19].
Precedence:

trivial

The following usable rules [14] were oriented: none

↳ QTRS

  ↳ Non-Overlap Check

    ↳ QTRS

      ↳ DependencyPairsProof

        ↳ QDP

          ↳ DependencyGraphProof

            ↳ AND

              ↳ QDP

                ↳ QDPOrderProof

                  ↳ QDP

                    ↳ QDPOrderProof

                      ↳ QDP

                        ↳ PisEmptyProof

              ↳ QDP

Q DP problem:
P is empty.
The TRS R consists of the following rules:

and₂(false, false) -> false
and₂(true, false) -> false
and₂(false, true) -> false
and₂(true, true) -> true
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(T, L), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(T, L)) -> false
eq₂(cons₂(T, L), cons₂(Tp, Lp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(L, Lp))
eq₂(var₁(L), var₁(Lp)) -> eq₂(L, Lp)
eq₂(var₁(L), apply₂(T, S)) -> false
eq₂(var₁(L), lambda₂(X, T)) -> false
eq₂(apply₂(T, S), var₁(L)) -> false
eq₂(apply₂(T, S), apply₂(Tp, Sp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(S, Sp))
eq₂(apply₂(T, S), lambda₂(X, Tp)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), var₁(L)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), apply₂(Tp, Sp)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), lambda₂(Xp, Tp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(X, Xp))
if₃(true, var₁(K), var₁(L)) -> var₁(K)
if₃(false, var₁(K), var₁(L)) -> var₁(L)
ren₃(var₁(L), var₁(K), var₁(Lp)) -> if₃(eq₂(L, Lp), var₁(K), var₁(Lp))
ren₃(X, Y, apply₂(T, S)) -> apply₂(ren₃(X, Y, T), ren₃(X, Y, S))
ren₃(X, Y, lambda₂(Z, T)) -> lambda₂(var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), ren₃(X, Y, ren₃(Z, var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), T)))

The set Q consists of the following terms:

and₂(false, false)
and₂(true, false)
and₂(false, true)
and₂(true, true)
eq₂(nil, nil)
eq₂(cons₂(x0, x1), nil)
eq₂(nil, cons₂(x0, x1))
eq₂(cons₂(x0, x1), cons₂(x2, x3))
eq₂(var₁(x0), var₁(x1))
eq₂(var₁(x0), apply₂(x1, x2))
eq₂(var₁(x0), lambda₂(x1, x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), apply₂(x2, x3))
eq₂(apply₂(x0, x1), lambda₂(x2, x3))
eq₂(lambda₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(lambda₂(x0, x1), apply₂(x2, x3))
eq₂(lambda₂(x0, x1), lambda₂(x2, x3))
if₃(true, var₁(x0), var₁(x1))
if₃(false, var₁(x0), var₁(x1))
ren₃(var₁(x0), var₁(x1), var₁(x2))
ren₃(x0, x1, apply₂(x2, x3))
ren₃(x0, x1, lambda₂(x2, x3))

We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.
The TRS P is empty. Hence, there is no (P,Q,R) chain.

↳ QTRS

  ↳ Non-Overlap Check

    ↳ QTRS

      ↳ DependencyPairsProof

        ↳ QDP

          ↳ DependencyGraphProof

            ↳ AND

              ↳ QDP

              ↳ QDP

                ↳ QDPOrderProof

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

REN₃(X, Y, apply₂(T, S)) -> REN₃(X, Y, T)
REN₃(X, Y, lambda₂(Z, T)) -> REN₃(X, Y, ren₃(Z, var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), T))
REN₃(X, Y, lambda₂(Z, T)) -> REN₃(Z, var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), T)
REN₃(X, Y, apply₂(T, S)) -> REN₃(X, Y, S)

The TRS R consists of the following rules:

and₂(false, false) -> false
and₂(true, false) -> false
and₂(false, true) -> false
and₂(true, true) -> true
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(T, L), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(T, L)) -> false
eq₂(cons₂(T, L), cons₂(Tp, Lp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(L, Lp))
eq₂(var₁(L), var₁(Lp)) -> eq₂(L, Lp)
eq₂(var₁(L), apply₂(T, S)) -> false
eq₂(var₁(L), lambda₂(X, T)) -> false
eq₂(apply₂(T, S), var₁(L)) -> false
eq₂(apply₂(T, S), apply₂(Tp, Sp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(S, Sp))
eq₂(apply₂(T, S), lambda₂(X, Tp)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), var₁(L)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), apply₂(Tp, Sp)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), lambda₂(Xp, Tp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(X, Xp))
if₃(true, var₁(K), var₁(L)) -> var₁(K)
if₃(false, var₁(K), var₁(L)) -> var₁(L)
ren₃(var₁(L), var₁(K), var₁(Lp)) -> if₃(eq₂(L, Lp), var₁(K), var₁(Lp))
ren₃(X, Y, apply₂(T, S)) -> apply₂(ren₃(X, Y, T), ren₃(X, Y, S))
ren₃(X, Y, lambda₂(Z, T)) -> lambda₂(var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), ren₃(X, Y, ren₃(Z, var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), T)))

The set Q consists of the following terms:

and₂(false, false)
and₂(true, false)
and₂(false, true)
and₂(true, true)
eq₂(nil, nil)
eq₂(cons₂(x0, x1), nil)
eq₂(nil, cons₂(x0, x1))
eq₂(cons₂(x0, x1), cons₂(x2, x3))
eq₂(var₁(x0), var₁(x1))
eq₂(var₁(x0), apply₂(x1, x2))
eq₂(var₁(x0), lambda₂(x1, x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), apply₂(x2, x3))
eq₂(apply₂(x0, x1), lambda₂(x2, x3))
eq₂(lambda₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(lambda₂(x0, x1), apply₂(x2, x3))
eq₂(lambda₂(x0, x1), lambda₂(x2, x3))
if₃(true, var₁(x0), var₁(x1))
if₃(false, var₁(x0), var₁(x1))
ren₃(var₁(x0), var₁(x1), var₁(x2))
ren₃(x0, x1, apply₂(x2, x3))
ren₃(x0, x1, lambda₂(x2, x3))

We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.
We use the reduction pair processor [13].

The following pairs can be strictly oriented and are deleted.

REN₃(X, Y, apply₂(T, S)) -> REN₃(X, Y, T)
REN₃(X, Y, apply₂(T, S)) -> REN₃(X, Y, S)

The remaining pairs can at least by weakly be oriented.

REN₃(X, Y, lambda₂(Z, T)) -> REN₃(X, Y, ren₃(Z, var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), T))
REN₃(X, Y, lambda₂(Z, T)) -> REN₃(Z, var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), T)

Used ordering: Combined order from the following AFS and order.
REN₃(x1, x2, x3) = REN₂(x2, x3)
apply₂(x1, x2) = apply₂(x1, x2)
lambda₂(x1, x2) = x2
ren₃(x1, x2, x3) = x3
var₁(x1) = var
cons₂(x1, x2) = x2
nil = nil
if₃(x1, x2, x3) = if
eq₂(x1, x2) = eq
true = true
false = false
and₂(x1, x2) = and

Lexicographic Path Order [19].
Precedence:

apply₂ > REN₂ > [var, if]
nil > [true, false, and] > [var, if]
eq > [true, false, and] > [var, if]

The following usable rules [14] were oriented:

ren₃(var₁(L), var₁(K), var₁(Lp)) -> if₃(eq₂(L, Lp), var₁(K), var₁(Lp))
ren₃(X, Y, apply₂(T, S)) -> apply₂(ren₃(X, Y, T), ren₃(X, Y, S))
ren₃(X, Y, lambda₂(Z, T)) -> lambda₂(var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), ren₃(X, Y, ren₃(Z, var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), T)))
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(T, L), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(T, L)) -> false
eq₂(cons₂(T, L), cons₂(Tp, Lp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(L, Lp))
eq₂(var₁(L), var₁(Lp)) -> eq₂(L, Lp)
eq₂(var₁(L), apply₂(T, S)) -> false
eq₂(var₁(L), lambda₂(X, T)) -> false
eq₂(apply₂(T, S), var₁(L)) -> false
eq₂(apply₂(T, S), apply₂(Tp, Sp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(S, Sp))
eq₂(apply₂(T, S), lambda₂(X, Tp)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), var₁(L)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), apply₂(Tp, Sp)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), lambda₂(Xp, Tp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(X, Xp))
if₃(true, var₁(K), var₁(L)) -> var₁(K)
if₃(false, var₁(K), var₁(L)) -> var₁(L)
and₂(false, false) -> false
and₂(true, false) -> false
and₂(false, true) -> false
and₂(true, true) -> true

↳ QTRS

  ↳ Non-Overlap Check

    ↳ QTRS

      ↳ DependencyPairsProof

        ↳ QDP

          ↳ DependencyGraphProof

            ↳ AND

              ↳ QDP

              ↳ QDP

                ↳ QDPOrderProof

                  ↳ QDP

                    ↳ QDPOrderProof

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

REN₃(X, Y, lambda₂(Z, T)) -> REN₃(X, Y, ren₃(Z, var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), T))
REN₃(X, Y, lambda₂(Z, T)) -> REN₃(Z, var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), T)

The TRS R consists of the following rules:

and₂(false, false) -> false
and₂(true, false) -> false
and₂(false, true) -> false
and₂(true, true) -> true
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(T, L), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(T, L)) -> false
eq₂(cons₂(T, L), cons₂(Tp, Lp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(L, Lp))
eq₂(var₁(L), var₁(Lp)) -> eq₂(L, Lp)
eq₂(var₁(L), apply₂(T, S)) -> false
eq₂(var₁(L), lambda₂(X, T)) -> false
eq₂(apply₂(T, S), var₁(L)) -> false
eq₂(apply₂(T, S), apply₂(Tp, Sp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(S, Sp))
eq₂(apply₂(T, S), lambda₂(X, Tp)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), var₁(L)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), apply₂(Tp, Sp)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), lambda₂(Xp, Tp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(X, Xp))
if₃(true, var₁(K), var₁(L)) -> var₁(K)
if₃(false, var₁(K), var₁(L)) -> var₁(L)
ren₃(var₁(L), var₁(K), var₁(Lp)) -> if₃(eq₂(L, Lp), var₁(K), var₁(Lp))
ren₃(X, Y, apply₂(T, S)) -> apply₂(ren₃(X, Y, T), ren₃(X, Y, S))
ren₃(X, Y, lambda₂(Z, T)) -> lambda₂(var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), ren₃(X, Y, ren₃(Z, var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), T)))

The set Q consists of the following terms:

and₂(false, false)
and₂(true, false)
and₂(false, true)
and₂(true, true)
eq₂(nil, nil)
eq₂(cons₂(x0, x1), nil)
eq₂(nil, cons₂(x0, x1))
eq₂(cons₂(x0, x1), cons₂(x2, x3))
eq₂(var₁(x0), var₁(x1))
eq₂(var₁(x0), apply₂(x1, x2))
eq₂(var₁(x0), lambda₂(x1, x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), apply₂(x2, x3))
eq₂(apply₂(x0, x1), lambda₂(x2, x3))
eq₂(lambda₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(lambda₂(x0, x1), apply₂(x2, x3))
eq₂(lambda₂(x0, x1), lambda₂(x2, x3))
if₃(true, var₁(x0), var₁(x1))
if₃(false, var₁(x0), var₁(x1))
ren₃(var₁(x0), var₁(x1), var₁(x2))
ren₃(x0, x1, apply₂(x2, x3))
ren₃(x0, x1, lambda₂(x2, x3))

We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.
We use the reduction pair processor [13].

The following pairs can be strictly oriented and are deleted.

REN₃(X, Y, lambda₂(Z, T)) -> REN₃(X, Y, ren₃(Z, var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), T))
REN₃(X, Y, lambda₂(Z, T)) -> REN₃(Z, var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), T)

The remaining pairs can at least by weakly be oriented.
none
Used ordering: Combined order from the following AFS and order.
REN₃(x1, x2, x3) = x3
lambda₂(x1, x2) = lambda₂(x1, x2)
ren₃(x1, x2, x3) = x3
var₁(x1) = var
cons₂(x1, x2) = cons
nil = nil
if₃(x1, x2, x3) = x1
eq₂(x1, x2) = eq
apply₂(x1, x2) = apply
true = true
false = false
and₂(x1, x2) = x2

Lexicographic Path Order [19].
Precedence:

cons > [lambda₂, var, eq, apply, true, false]
nil > [lambda₂, var, eq, apply, true, false]

The following usable rules [14] were oriented:

ren₃(var₁(L), var₁(K), var₁(Lp)) -> if₃(eq₂(L, Lp), var₁(K), var₁(Lp))
ren₃(X, Y, apply₂(T, S)) -> apply₂(ren₃(X, Y, T), ren₃(X, Y, S))
ren₃(X, Y, lambda₂(Z, T)) -> lambda₂(var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), ren₃(X, Y, ren₃(Z, var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), T)))
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(T, L), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(T, L)) -> false
eq₂(cons₂(T, L), cons₂(Tp, Lp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(L, Lp))
eq₂(var₁(L), var₁(Lp)) -> eq₂(L, Lp)
eq₂(var₁(L), apply₂(T, S)) -> false
eq₂(var₁(L), lambda₂(X, T)) -> false
eq₂(apply₂(T, S), var₁(L)) -> false
eq₂(apply₂(T, S), apply₂(Tp, Sp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(S, Sp))
eq₂(apply₂(T, S), lambda₂(X, Tp)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), var₁(L)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), apply₂(Tp, Sp)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), lambda₂(Xp, Tp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(X, Xp))
if₃(true, var₁(K), var₁(L)) -> var₁(K)
if₃(false, var₁(K), var₁(L)) -> var₁(L)
and₂(false, false) -> false
and₂(true, false) -> false
and₂(false, true) -> false
and₂(true, true) -> true

↳ QTRS

  ↳ Non-Overlap Check

    ↳ QTRS

      ↳ DependencyPairsProof

        ↳ QDP

          ↳ DependencyGraphProof

            ↳ AND

              ↳ QDP

              ↳ QDP

                ↳ QDPOrderProof

                  ↳ QDP

                    ↳ QDPOrderProof

                      ↳ QDP

                        ↳ PisEmptyProof

Q DP problem:
P is empty.
The TRS R consists of the following rules:

and₂(false, false) -> false
and₂(true, false) -> false
and₂(false, true) -> false
and₂(true, true) -> true
eq₂(nil, nil) -> true
eq₂(cons₂(T, L), nil) -> false
eq₂(nil, cons₂(T, L)) -> false
eq₂(cons₂(T, L), cons₂(Tp, Lp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(L, Lp))
eq₂(var₁(L), var₁(Lp)) -> eq₂(L, Lp)
eq₂(var₁(L), apply₂(T, S)) -> false
eq₂(var₁(L), lambda₂(X, T)) -> false
eq₂(apply₂(T, S), var₁(L)) -> false
eq₂(apply₂(T, S), apply₂(Tp, Sp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(S, Sp))
eq₂(apply₂(T, S), lambda₂(X, Tp)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), var₁(L)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), apply₂(Tp, Sp)) -> false
eq₂(lambda₂(X, T), lambda₂(Xp, Tp)) -> and₂(eq₂(T, Tp), eq₂(X, Xp))
if₃(true, var₁(K), var₁(L)) -> var₁(K)
if₃(false, var₁(K), var₁(L)) -> var₁(L)
ren₃(var₁(L), var₁(K), var₁(Lp)) -> if₃(eq₂(L, Lp), var₁(K), var₁(Lp))
ren₃(X, Y, apply₂(T, S)) -> apply₂(ren₃(X, Y, T), ren₃(X, Y, S))
ren₃(X, Y, lambda₂(Z, T)) -> lambda₂(var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), ren₃(X, Y, ren₃(Z, var₁(cons₂(X, cons₂(Y, cons₂(lambda₂(Z, T), nil)))), T)))

The set Q consists of the following terms:

and₂(false, false)
and₂(true, false)
and₂(false, true)
and₂(true, true)
eq₂(nil, nil)
eq₂(cons₂(x0, x1), nil)
eq₂(nil, cons₂(x0, x1))
eq₂(cons₂(x0, x1), cons₂(x2, x3))
eq₂(var₁(x0), var₁(x1))
eq₂(var₁(x0), apply₂(x1, x2))
eq₂(var₁(x0), lambda₂(x1, x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(apply₂(x0, x1), apply₂(x2, x3))
eq₂(apply₂(x0, x1), lambda₂(x2, x3))
eq₂(lambda₂(x0, x1), var₁(x2))
eq₂(lambda₂(x0, x1), apply₂(x2, x3))
eq₂(lambda₂(x0, x1), lambda₂(x2, x3))
if₃(true, var₁(x0), var₁(x1))
if₃(false, var₁(x0), var₁(x1))
ren₃(var₁(x0), var₁(x1), var₁(x2))
ren₃(x0, x1, apply₂(x2, x3))
ren₃(x0, x1, lambda₂(x2, x3))

We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.
The TRS P is empty. Hence, there is no (P,Q,R) chain.